Делимость

Очередной параграф учебника. Здесь много о делимости — начиная определениями чётных/нечётных чисел и заканчивая основной теоремой арифметики и алгоритмом Евклида. Одним выстрелом убил много зайцев сразу. Теперь заметки параграфов учебника буду прятать под кат, поскольку страница блога получается без этого слишком длинной, а формулы к тому же долго парсятся и в некоторых случаях даже способны на какое-то время повесить систему, что не хорошо.

См. так же pdf и GitHub.

В этом параграфе мы одним махом рассмотрим все базовые свойства делимости и связанные с этим понятия. Напомню, что мы ввели обозначение для обозначения делимости на (равносильно делит ). Формально это значит, что для некоторого .

Теорема. Если в сумме все слагаемые делятся на , то и вся сумма делится на .

Доказательство. По условию теоремы . Тогда

Последнее выражение как раз и означает, что первоначальная сумма делится на , поскольку мы смогли из всей суммы вынести этот множитель за скобки.

Теорема. Если в сумме все слагаемые кроме одного делятся на , то сумма не делится на .

Доказательство. Поскольку мы можем переставлять слагаемые как нам вздумается, будем считать, что на не делится слагаемое , а остальные слагаемые делятся. Это значит, что и для всех имеем . Тогда мы можем записать сумму в следующем виде:

Последнее есть ни что иное как деление с остатком суммы на , где остаток . Это ровно то, что требовалось доказать.

Упражнение. В теореме 3.14 принципиально то, что не делится на лишь одно из слагаемых, но не больше. Покажите, что если в сумме не делится на ровно два слагаемых, то сама сумма на всё же может делиться.

Упражнение. Докажите, что для того, чтобы произведение делилось на , достаточно, чтобы хотя бы один из множителей делился на . Это условие не является необходимым: покажите так же, что возможна ситуация, когда ни один из множителей не делится на , но само произведение на делится.

Определение. Число называется чётным, если оно делится на 2, и нечётным в противном случае.

Любое чётное число может быть представлено в виде , а нечетное в виде .

Упражнение. Докажите, что сумма двух чётных чисел чётна, сумма двух нечётных так же чётна, а сумма чётного и нечётного нечётна. Докажите так же, что произведение нечетных чисел всегда нечетное, и что если хотя бы один из множителей чётный, то и всё произведение чётно.

Понятие чётности/нечётности вроде на первый взгляд совершенно тривиально, однако оно постоянно возникает в математике. Например, в прошлом параграфе оно нам уже встречалось, хотя мы тогда не обратили на него внимания. С новой терминологией мы можем переформулировать алгоритм возведения в степень так: если  — чётное, то , а если нечётное, то . Мелочь, но подобная терминология в математике и её приложениях встречается сплошь и рядом, это довольно удобно.

Используя теоремы выше мы можем легко вывести школьные «признаки делимости».

Пример. Для того, чтобы число делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы число, составленное из двух младших разрядов делилось на 4. Действительно:

В последнем выражении сумма слева делится на 4, поэтому для делимости всего числа на 4 по теоремам 3.13-14 необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 выражение , а это и есть две последние цифры. Так, число 4133 не делится на 4, так как 33 не делится на 4, а число 12344 делится на четыре, так как 44 делится на 4.

Упражнение. Докажите, что для того, чтобы число было четным, необходимо и достаточно, чтобы младший разряд числа был чётным.

Упражнение. Докажите, что для того, чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы младший разряд был равен 0 либо 5.

Пример. Для того, чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Дейстивительно:
\begin{align*}
\sum_{i=0}^\infty a_i 10^i &= a_0 + (9+1)a_1 + (99+1)a_2 + \ldots\\
&= \sum_{i=0}^\infty a_i + 9a_1 + 99a_2 + 999a_3 +\ldots \\
&= \sum_{i=0}^\infty a_i + 3(3a_1 + 33a_2 +\ldots)
\end{align*}
Второе слагаемое всегда делится на три, поэтому для делимости всей суммы необходимо и достаточно, чтобы делилась на три сумма .

Упражнение. Докажите, что для того, чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Пример. Можно придумать еще множество критериев подобным образом, а так же сочетая существующие критерии. Например, для того, чтобы число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно одновременно делилось на 2 и на 3. Придумайте еще подобные критерии.

Как мы уже отмечали в первом параграфе, отношение делимости задаёт частичный порядок на . Напомню, что в § 2.2 мы ввели понятие точных нижних и точных верхних граней для частично упорядоченных множеств и обозначили это как и соответственно. Эти понятия можно применить и к отношению делимости:

Определение. Наибольшим общим делителем (НОД) чисел множества называется , а наименьшим общим кратным (НОК) .

Это определение требует, видимо, расшифровки. Для простоты будем считать, что множество состоит из двух чисел и , хотя всё сказанное легко обобщается на случай произвольного конечного количества чисел.

Величина называется общим делителем чисел и , если одновременно делит и и . Множество всех нижних граней множества есть на самом деле множество общих делителей этих чисел. Самый большой элемент этого множества является наибольшим общим делителем чисел и , а это и есть определение точной нижней грани.

Аналогично число называется общим кратным чисел и , если оно делится одновременно и на и на . Наименьшее из таких чисел — это наименьшее общее кратное, а по совместительству точная нижняя грань из всех общих кратных.

Часто в учебниках принято обозначать НОД как (greatest common divisor), а НОК как (least common multiplier). Нам НОК будет требоваться довольно редко, а вот для НОД мы примем другое обозначение: вместо будем писать просто . На данный момент это может показаться странным и бессмысленным, но на это есть глубокая причина, которую читатель увидит в следующей главе.

Определение. Число называется простым, если оно имеет в точности два делителя.

Два делителя — это само число и единица. Можно было бы сказать «не имеет делителей, кроме себя и единицы», это было бы понятнее, но тогда такое определение распространялось бы и на саму единицу, которая в соответствии с данным определением простым числом не является. Может возникнуть вопрос: а почему не считать единицу за простое число? Быстрый ответ таков, что это просто удобнее в большинстве случаев. Более глубокий ответ будет дан в следующей главе.

Определение. Числа и называются взаимопростыми, если .

Любое число, если оно не простое, можно представить в виде произведения некоторых других чисел. Эти числа, если они не простые, опять же можно представить в виде какого-то произведения. Например,

Таким образом, любое натуральное число мы можем представить в виде произведения простых чисел и простые числа оказываются в некотором смысле строительными блоками для всех остальных натуральных чисел. Возникает естественный вопрос: а сколько простых чисел всего? Или хотя бы их конечное число, или бесконечное? Ответ даёт следующая теорема.
Теорема Евклида. Простых чисел бесконечно много.
Доказательство. Пойдём от противного и предположим, что это не так. Пусть простых чисел всего штук. Обозначим их как . Тогда число не делится ни на одно из , и соответственно само является простым. Это противоречит тому, что простых чисел всего штук, откуда следует что простых чисел бесконечно много.

Касательно разложения чисел на простые множители остаётся еще такой вопрос: а однозначное ли это разложение? То есть понятно, что оно не однозначно с точки зрения порядка сомножителей, однако сами эти эти сомножители будут ли всегда одними и теми же, или могут отличаться? Так сходу это уже не докажешь, потребуется некоторая подготовка.

Займем из далека и начнем с быстрого способа нахождения НОД, который так же носит имя Евклида. Пусть нам надо найти величину . Вначале поделим с остатком на :

Теперь поделим с остатком на :
.
И будем продолжать этот нехитрый процесс:



Последовательность строго убывающая, поэтому в какой-то момент у нас эти числа поделятся без остатка:


Давайте покажем, что является НОД чисел и . Из последней строчки видно, что . Перепишем теперь предпоследнюю строчку таким образом:

Здесь и и делятся на , стало быть и обязана делиться на . Поднимаясь еще на строчку выше, получим аналогично, что . Продолжая процесс нужное количество шагов, мы придём в результате к тому, что и .

Это доказывает, что является общим делителем, но не доказывает, что это делитель наибольший. Пусть . Из первой строчки алгоритма Евклида видно, что . Из второй строчки теперь можно увидеть, что . Спускаясь ниже, получаем, что , но и сам является делителем и . Это доказывает, что действительно .

Сам по себе этот алгоритм хоть и быстр, но нам бесполезен: мы не собираемся искать НОД чисел. Что нам интересно, так это следствия из этого алгоритма.

Перепишем предпоследний шаг алгоритма Евклида как . Поднимемся на строчку выше, и из подставим значение :

Поднимаясь на строчку выше, мы можем выразить через и , после чего мы получим следующее выражение:

Здесь и  — это некоторые коэффициенты, выражающиеся через значения . Их можно найти строго, но они нас не волнуют. На самом деле возможно тут будет и не сумма, а разность, например, или наоборот . Мы будем считать, что один из коэффициентов может идти со знаком минус (в следующей главе мы введём отрицательные числа и нам не надо будет делать таких оговорок, но пока будем считать так).

Продолжая процесс построчно вверх по алгоритму Евклида, мы в конечном счете приходим к такому выражению:

Соотношение Безу. для любых и , где и могут содержать знак минус.
Следствие. Если числа и взаимопросты, то найдутся такие и , что

Следствие. Если числа и взаимопросты, то любое число может быть представлено как

Доказательство. Первое следствие элементарно, поскольку оно фуктически дублирует определение взаимной простоты . Второе следствие получается из первого, если умножить обе части на :

Лемма Евклида. Пусть и произвольные числа и  — простое число такое, что . Тогда либо , либо .
Доказательство. Предположим, что не делит . В этом предположении докажем, что оно обязано тогда делить . Если не делит , то рассуждения будут симметричны, но в отношении .

Поскольку простое и не делит , это значит, что оно взаимопросто с . По соотношению Безу

Умножим это на :

В левой части оба слагаемых делятся на . Значит, правая часть так же должна делиться на .

Вот теперь мы готовы к финальному шагу.

Основная теорема арифметики. Любое натуральное число однозначно раскладывается на простые множители с точностью до порядка сомножителей.
Доказательство. Предположим, что это не так и некоторое число одновременно может быть записано как и как , где и наборы различных простых чисел.

Возьмём некоторое произвольное из первого разложения. Лемма Евклида гарантирует нам, что обязано делить один из множителей . Аналогично можно сказать, что и каждый из обязан делить один из множителей . Если учесть, что множители в одном разложении взаимопросты, то соответсвие получается взаимооднозначным. Таким образом, сами простые множители в обоих разложениях будут одинаковыми, но нам еще надо доказать, что у них будут совпадать показатели степени.

Итак, пусть теперь у нас есть два разложения и и предположим, что для некоторого (неравенство может быть и в другую сторону, доказательство в этом случае аналогично). Поделим оба этих разложения на . Тогда первое разложение более вообще не будет делиться на , а второе разложение будет на него делиться. Из этого противоречия следует, что , что завершает доказательство.

К этому доказательству можно было бы добавить формальных деталей, так как пока оно не слишком строго. Мы покажем как это делается в следующем параграфе.

Основная теорема арифметики имеет ряд немедленных простых следствий, которые составляют следующие упражнения, обязательные для выполнения:

Упражнение. Это для разминки. Пусть и  — разложения чисел на простые множители (показатели степеней могут быть нулевыми). Докажите, что

Упражнение. Пусть и опять имеют разложение на простые множители так же как в прошлом упражнении. Докажите, что

Упражнение. Докажите, что .

Упражнение. Докажите, что отношение делимости задаёт дистрибутивную решётку на (решетки рассматривались в конце §2.2). Для тех, кто не разобрался с понятием дистрибутивной решетки, поясню, что это равносильно доказательству двух утверждений: